מטולטלות בכאוס -פרקטלים ואמנות מחשב


תיאוריית הכאוס - הבאה להסביר במונחים חדשים את היקום ואין סוף תת-היקומים, תת-המערכות, שלו. תיאוריית הכאוס מדברת על "מערכות דינמיות", מתהוות, שהתנהגותן נראית אקראית, כאוטית, לא צפויה ובלתי ניתנת לניבוי. אך בכל זאת, מעבר למה שנראה לנו, יש בהן סדר, תבניות ודפוסי התנהגות. מדע הכאוס חוקר ומבקש לגלות את הסדר שבתוך אי-הסדר .

מטולטלות בכאוס בראשית היה הכאוס, תוהו ובוהו, וממנו נוצר (או נברא על ידי אלוהים) הקוסמוס, היקום המאורגן. כך באופן סכמטי מספרות לנו המיתולוגיות. בשנות השבעים של המאה שעברה (1970) החלה להתנסח תיאוריה מדעית חדשה - תיאוריית הכאוס - הבאה להסביר במונחים חדשים את היקום ואין סוף תת-היקומים, תת-המערכות, שלו. תיאוריית הכאוס מדברת על "מערכות דינמיות", מתהוות, שהתנהגותן נראית אקראית, כאוטית, לא צפויה ובלתי ניתנת לניבוי. אך בכל זאת, מעבר למה שנראה לנו, יש בהן סדר, תבניות ודפוסי התנהגות. מדע הכאוס חוקר ומבקש לגלות את הסדר שבתוך אי-הסדר . תהליך דטרמיניסטי מציית לחוק הסיבה והתוצאה, לפיו כל שלב בתהליך נקבע על ידי השלב שקדם לו, וזה בתורו קובע את השלב שיבוא אחריו. תהליך כזה הוא תהליך ליניארי ובר-ניבוי. תיאוריית הכאוס איננה שוללת את הדטרמיניזם אך מוסיפה לו ממד כאוטי, את ממד האקראיות, וכאן נכנס מושג מפתח בתיאוריית הכאוס, הלא הוא "תוצא הפרפר" (butterfly effect), כפי שהוא מכונה באופן פיוטי, או "תלות רגישה בתנאים התחליים" (sensitive dependance on initial conditions) בשמו הטכני. אפקט הפרפר מקורו בהדמיה ממוחשבת של מזג אוויר, שערך המטאורולוג אדוארד לורנץ מאבות תיאוריית הכאוס. לורנץ נשא הרצאה בשנת 1979 שכותרתה "יכולת ניבוי: האם משק כנפיו של פרפר בברזיל מחולל טורנדו בטקסס?" והמשמעות היא שאירוע קל ערך לכאורה יכול לחולל שרשרת של תגובות ולהוביל לתוצאות בלתי משוערות ובלתי פרופורציונליות לתנאים הראשוניים. כלומר ההתפתחות של מערכת כלשהי תלויה באירועים קטנים בעבר שלה. שינוי קטן בתנאים הראשוניים של תהליך יכול להוביל לשינוי גדול ובלתי צפוי בתוצאות. קשה לנבא את התפתחותה של מערכת כאוטית כלשהי, משום שהרבה גורמים משתתפים בה ומשפיעים עליה ואי-אפשר לקחת בחשבון ומראש את כולם ומשום שאפקט הפרפר (הוא הגורם האקראי) נכנס למערכת ומשנה את התנהגותה. (בתנאי מעבדה, מרחב המחיה של המדע הקלאסי, ניתן לבודד חלקים כלשהם במערכת ולבדוק את התנהגותם, אך מערכת אמיתית בעולם אמיתי מורכבת הרבה יותר ופועלת כמכלול ומתוך אינטראקציה ולא כחלק מבודד.) *****************************************


שיר פולקלוריסטי שקדם בהרבה לתיאוריית הכאוס ממחיש את אפקט הפרפר: בנפול המסמר נפלה הפרסה, בנפול הפרסה נפל הסוס, בנפול הסוס נפל הרוכב, בנפול הרוכב נפלה העיר, בנפול העיר נפלה הממלכה. אפקט הפרפר הוא אפוא וריאציה של "הכול בגלל מסמר קטן". תיאוריית הכאוס היא רב-תחומית ועוסקת במערכות דינמיות הן בטבע הן בחברה. דוגמה קלאסית למערכת דינמית בטבע היא מערכת מזג האוויר. מזג האוויר בנקודת זמן מוגדרת ובמקום מוגדר מושפע ממזג האוויר בזמן ובמקום אחרים (לא אחת אנו שומעים למשל על שקע ברומטרי בטורקיה שמתקרב אלינו או מתרחק מאתנו ולכן צפויה לנו כאן, נניח, סערה). מכאן הצורך במפות סינופטיות לחיזוי מזג האוויר, היינו מפות שמודדות ומתארות את מזג האוויר גם באזורים הסמוכים לאזור הנמדד. מזג האוויר באזורים הסמוכים גם הוא מצדו מושפע ממזג האוויר באזורים הסמוכים לו וכן הלאה וכן הלאה, ומאחר שאף חזאי או צי של חזאים לא יכולים להקיף את כל הגורמים, בכל נקודה בעולם, שעשויים להשפיע על מזג האוויר - משום כך חיזוי מזג האוויר הוא קצר מועד ולעתים בלתי מדויק. דוגמה מתחום הכלכלה - שוק המניות גם הוא מערכת דינמית, כאוטית ובלתי ניתנת לניבוי. אירוע מקומי במדינה מסוימת יכול לגרום לעליית שערים או לירידתם באותה מדינה, ומכאן תתחיל תגובת שרשרת בכל הבורסות בעולם. הכול קשור בכול. והאם יש צורך לומר שתחום הנפש ויחסי אנוש הוא אולי הכאוטי ביותר מבין כל המערכות?


פרקטלים - שפת הכאוס עשן מסתלסל מסיגריה, שלהבת של נר בוער, עלה נושר - תנועותיהם וצורותיהם אקראיות, בלתי ניתנות לתיאור במונחים פיזיקליים וגיאומטריים מסורתיים. השירה מיטיבה לתאר אותם, אך כיצד לתאר אותם במונחים מדעיים? ובכן יוצרים שפה חדשה וגיאומטריה חדשה - פרקטלים (fractals). פרקטלים הם צורות חופשיות ומורכבות שנוצרות בתהליך כאוטי. בטבע אנו מוצאים אותם למשל בצורת קו החוף, שנוצר על ידי הגלים המתנפצים אל החוף, בצורתם של הרים הנוצרים בתהליכים גיאולוגיים, בצורתם של עננים הנוצרים בתהליכים אטמוספיריים, בצורתם של נייר מקומט, פתות שלג וכיוצא באלו. את כל הצורות האלה אי-אפשר לתאר במונחי הגיאומטריה הקלאסית, האויקלידית (שלמדנו בילדותנו), כגון קו ישר, משולש, עיגול. גיאומטריית הפרקטלים, המכונה לעתים הגיאומטריה של הטבע או שפת הכאוס, באה לתאר צורות לא-ליניאריות אלו. המאפיין המרכזי של פרקטלים הוא דמיון עצמי (self similarity). אובייקט שדומה לעצמו הוא אובייקט שכל חלק ממנו, בכל קנה מידה של הגדלה או הקטנה, דומה לאובייקט השלם (כמו בובת בבושקה) - היינו השלם מכיל דגמים קטנים של עצמו ויחד עם זאת הדגמים אינם לגמרי זהים זה לזה. (למעשה זהו רעיון פיוטי-פילוסופי-מיסטי עתיק, שכבר נוסח הרבה לפני הולדת תיאוריית הכאוס בהרבה ניסוחים - למשל טיפה מן הים מכילה את תכונות הים כולו. כמדומה, החידוש של תיאוריית הכאוס איננו בתיאוריה עצמה כי אם בלבוש וביישומים המדעיים שלה). מאפיין מרכזי נוסף של הפרקטלים הוא הממד הפרקטלי (השברי). על פי הגיאומטריה הקלאסית, הליניארית, אובייקט יכול להיות חד-ממדי (קו ישר), דו-ממדי (מישור), תלת-ממדי (מרחב) והוא מיוצג על ידי מספרים שלמים (1, 2, 3). גיאומטריית הפרקטלים, שעוסקת בצורות לא-ליניאריות, מזוגזגות, מפותלות, מרוסקות ולא בקווים ישרים - מדברת על ממד שברי. הממד של אובייקט פרקטלי מיוצג על ידי מספר שבור (למשל 1.6). ממד זה מאפשר למדוד את מידת הזיגזגיות או אי-הסדירות של האובייקט. המונח פרקטל נגזר מן המילה הלטינית "פרקטוס" שתרגומה "שבור" (גם בהקשר רפואי וגם בהקשר חשבוני) וטבע אותו לראשונה המתמטיקאי בנואה מנדלברוט (Benoit Mandelbrot) המכונה גם "אבי הפרקטלים". פרקטלים הם צומת המפגש בין מתמטיקה, מחשבים ואמנות. נוסחאות מתמטיות, משוואות, פונקציות פשוטות יחסית - שמופעלת עליהן לולאה של חישובים באמצעות תוכנות מחשב - יכולות להפיק תמונות מרהיבות וצלילים. אין ספק שיישומים נלווים אלה תרמו לפופולריות של תיאוריית הכאוס והפרקטלים. אביא כאן כמה תמונות פרקטליות שיצרתי באמצעות תוכנת אולטרה פרקטל. http://www.ultrafractal.com



אחורה

חדשות

  • עמרם מצנע מצטרף לציפי לבני

  • במסיבת עתונאים היום הודיעה ציפי לבני על הצטרפותו של עמרם מצנע למפלגת "התנועה".

  • עצומה להמתת חסד

  • לאחר המקרה הטרגי של הרופא אשר עזר לבתו חולת הסרטן למות והתאבד,

    עולה שוב הסוגיה של המתת חסד.